ATIVIDADES DE MATEMÁTICA – PROFESSORA
LÚCIA MARILDA LOPES
Revisando a
linguagem algébrica
De onde veio
esse quadrado?
Você sabe o que são números quadrados?
São números inteiros que são o resultado
do quadrado de um outro número inteiro.
E você já parou para pensar por que
chamamos a segunda potência de quadrado?
Por exemplo, 3² lê-se “três elevado à
segunda potência” ou “três ao quadrado”.
Isso acontece porque se fizermos um
quadrado com lado 3 cm, obteremos 3² de área.
Um pouco de história
Muitos métodos são utilizados para solucionar equações. Neste trabalho,
destacarei o método da fatoração, muito fácil e
bastante funcional. Porém, é importante lembrar que nada do que conhecemos hoje
foi facilmente surgido e sem nenhum esforço desenvolvido. Todo conhecimento
armazenado ao longo do tempo, e hoje compilado e organizado, é fruto de longa
trajetória de descobertas, desafios e compartilhamento.
Nem sempre foi possível visualizar representações tão práticas das
equações. Nascida do desenvolvimento algébrico dos árabes, no século IX, passou
por diversas representações simbólicas até atingir o modelo vigorante na
atualidade. No auge das descobertas dos conceitos algébricos, ainda no século
citado anteriormente, o matemático Al-Khowarizmi divulgou sua obra que tratava
da solução de problemas de herança por métodos equacionais.
Os cálculos com letras (literais) foram desenvolvidos entre os séculos
XVI e XVII na Europa. A fatoração se destacara nesse cenário e os matemáticos
da época passaram a utilizá-la nas resoluções das equações. Mas o grande
problema, superado pelos tempos modernos, eram as representações dos cálculos,
por conta da insuficiência simbólica da época. Letras e palavras eram
utilizadas para representar o que hoje representamos com simples sinais de
operações.
Quando o produto é zero
Em regra, todas as vezes que o produto de uma expressão for igual à zero
tem-se que um de seus fatores é zero.
Veja:
x . y = 0
Ou x = 0 ou y = 0
Exemplo:
Na equação (x + 2) (x – 1) = 0, encontre o valor de x.
De acordo com a regra do produto, ou x + 2 = 0 ou x – 1 = 0, portanto:
|
1º fator
|
2º fator
|
Logo, as possíveis soluções da equação são - 2 e 1.
Fatorando
Para fatorar uma equação será necessário encontrar o fator comum entre
todos os fatores e coloca-lo em evidência (destaque). Fator comum é aquele que
aparece em cada um dos fatores da expressão dada. Vejamos melhor no exemplo que
se segue.
- x4 - 4x2 = 0
→ o fator comum é x2. Mas por que ele é o fator comum?
- x4 = x2 .
x2
- 4x2 = x2 .
4
x2 aparece em todos os fatores da expressão, logo ele é comum a
todos eles. Agora podemos fatorar a expressão colocando x2 em
evidência. Veja como:
- x2 . (x2 - 4)
ou x2 = 0 ou x2 - 4 = 0
- x2 - 4 = 0
- x2 = 4
- x = ± 2
As soluções para esta equação seriam 0, -
2 e + 2.
Aplicando a fatoração
Agora que estamos familiarizados com o processo de fatoração, vamos
resolver algumas questões referentes a esta temática.
|
Questão 1 Resolva a equação x2 – 3x = 0 utilizando o método da
fatoração. Solução Perceba que o fator comum nessa expressão é x. Veja por
que:
Portanto devemos colocar o fator comum (x) em evidência.
ou x = 0 ou x – 3 = 0
|
Questão 2 Dê as possíveis soluções da equação de 3º grau 3y3 –
48y2 = 0.
O fator comum é y2, portanto vamos colocá-lo em
evidência e fatorar a expressão.
ou y2 = 0 ou 3y – 48 = 0
|
“Não existem dificuldades para aqueles que
insistem, persistem e jamais desistem.”
Referência bibliográfica:
IMENES, LUIZ MÁRCIO;
LELLIS, MARCELO. Matemática: 9º ano. – 2 ed. – São Paulo:
Moderna, 2012.
LISTA
DE EXERCÍCIOS - EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS
EQUAÇÕES
DO 1º GRAU
01-Determine
os valores de X:
a)
X + 1 = 10 b) 2X-4 =
3 -6X c) 2X +10=20 d)2(X+1)= X + 10
2- Resolução de problemas
a) Um avião percorre 2700 km em quatro horas. Em uma
hora e 20 minutos de vôo percorrerá?
b) O triplo da altura de joana e mais de
15cm da 441cm.qual a altura de joana?
c) Somando-se 489 a
metade de um número obtendo o dobro dele qual é esse número?
d) Um
número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
·
Equações do 2º grau do tipo ax² + c = 0,
com b = 0, você encontra duas raízes opostas.
Equações do 2º grau incompletas do tipo ax²+bx=0, com
c=0, você deve colocar x em evidência e aplicar a propriedade: se um produto é
nulo, ou seja, zero, pelo menos um dos fatores é zero.
5)O comprimento de
uma circunferência é de 31,40 cm. quanto mede seu raio?
6)(FATEC-SP)O
pneu de um veículo, com 80cm de diâmetro, ao dar uma volta completa, percorre,
aproximadamente, uma distância de quantos metros?
9) Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 20
cm.
10) Em um restaurante, uma família pediu uma pizza
grande, de 43 cm de diâmetro, e outra família pediu duas médias, de 30 cm de
diâmetro. Qual família comeu mais pizza?
Mais Problemas
EXERCÍCIOS
COMPLEMENTARES
PRODUTOS
NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Mais produtos notáveis
Uma equação quadrática é incompleta quando
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equação 2x2 = 0 é
incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0
Exercícios Resolvidos
1) Determine os valores de x que tornam a
equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira.
Solução:
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim:
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números
elevados ao quadrado resultam em 4.
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2
2) Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual
a 2.
Solução:
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura.
Assim, devemos multiplicar os valores dados e igualar a 2.
(x - 2) . (x - 1) = 2
Agora vamos multiplicar todos os termos:
x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2
x2 - 1x - 2x + 2 = 2
x2 - 3x + 2 - 2 = 0
x2 - 3x = 0
Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma
equação incompleta do segundo grau, com c = 0.
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo
em evidência.
x . (x - 3) = 0
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo,
substituindo x por zero, as medidas dos
lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão.
Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo
essa equação:
x - 3 = 0
x = 3
Desta forma, o valor do x para que a
área do retângulo seja igual a 2 é x = 3.
Fórmula de Bhaskara
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.
A fórmula é apresentada abaixo:
Fórmula do Delta
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de discriminante da equação,
pois de acordo com o seu valor é possível saber qual o número de raízes que a
equação terá.
Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula:
Passo a Passo
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara,
devemos seguir os seguintes passos:
1º
Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é
importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em que
estão.
O coeficiente a é o número
que está junto com o x2, o b é o número
que acompanha o x e o c é o termo independente, ou seja, o número que
aparece sem o x.
2º
Passo: Calcular o delta.
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para
isso, substituímos as letras na fórmula pelos valores dos coeficientes.
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de
raízes que terá a equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que
zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e
distintas.
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação
não apresentará raízes reais e se for igual a zero (Δ = 0),
a equação apresentará somente uma raiz.
3º Passo: Calcular as raízes.
Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais
nenhum cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais.
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir
todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes.
Exercício Resolvido
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0
Solução:
Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim
temos:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as
regras de sinais e lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a
multiplicação e depois a soma e a subtração.
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos
para as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos
então:
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1.
Sistema de Equações do 2º Grau
Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que
satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de equações.
As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º grau. Para
resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da substituição e o método
da adição.
Exercício Resolvido
Resolva o sistema ao lado::
Solução:
Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição. Neste
método, somamos os termos semelhantes da 1ª equação com os da 2ª equação.
Assim, reduzimos o sistema para uma só equação.
Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado
será a equação x2 - 2x - 3 = 0. Resolvendo a equação, temos:
Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16
Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos
ainda de encontrar os valores de y que tornam o sistema verdadeiro.
Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das
equações.
y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22
y2 - 6 . (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2
Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2)
Lista de Exercícios – Equação do 2º Grau
1)Quais
das equações abaixo são do 2º grau?
( ) x – 5x + 6 = 0 (
) 2x³ - 8x² - 2 = 0
( ) x² - 7x + 10 = 0
( ) 4x² - 1 = 0 ( ) 0x² + 4x – 3 = 0 ( ) x² - 7x
2)Classifique as equações do 2º grau em
completas ou incompletas e determine os coeficientes a, b, c.
a)
x² - 7x + 10 = 0
b) 4x² - 4x +1 = 0 c) –x² - 7x = 0
d)
x² - 16 = 0
e) x² + 0x + 0 = 0
3)Resolva
as equações do 2º grau:
a)
4x²
- 36 = 0 b)7x² - 21 = 0 c)x² + 9 = 0 d)x² - 49 = 0
e)5x² - 20 = 0
04. (FUVEST) A soma dos valores de m para os
quais x=1 é raiz da equação:
x² +
(1 + 5m - 3m²)x + (m² + 1) = 0 ; é igual a
5) Sabe-se que a equação 5x2- 4x + 2m = 0 tem duas
raízes reais e diferente. Nessas condições, determine o valor de ‘m’.
6) Determine o valor de ‘p’ na equação x2 – px + 9 = 0
para que essa equação tenha um única raiz real.
7) Determine o valor de ‘m’ na equação 12x2 – mx – 1 = 0 , de
modo que a soma das raízes seja 5/6
8) O produto das raízes da equação 8x2 – 9x + c = 0 é
igual a a 3/4. Calcular o valor do coeficiente c.
9) Podemos afirmar que 4 é raiz para a equação 8x2 – 9x + 8 =
64? Justifique a sua resposta, apresentando
o cálculo.
10) Em um retângulo, a área pode ser obtida multiplicando-se o
comprimento pela largura. Em determinado retângulo que tem 54 cm² de área, o
comprimento é expresso por (x – 1) cm, enquanto a largura é expressa por (x –
4) cm. Nessas condições, determine o valor de x.
11) A soma de um número
com o seu quadrado é 90. Calcule esses números.
12) O quadrado de um
número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número.
13) O triplo de um
número, diferente de zero, é igual ao seu quadrado. Qual é esse número?
14) A equação (x – 2)(x
+ 2) = 2x – 9:
a) admite duas raízes
reais e iguais. b) admite duas raízes reais e opostas.
c) admite apenas uma
raiz. d)
não admite raízes reais.
15) Monte uma equação do 2º que tenha como raízes 8 e -1
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